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首都科學講堂第678期《應用數學: 數學到底有什么用?》

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  2021年1月16日,首都科學(xue)講(jiang)堂線上開講(jiang),本次首都科學(xue)講(jiang)堂邀請了北京大(da)學(xue)北京國際數學(xue)研究中(zhong)心(xin)副教授董彬,為大(da)家帶來題為《應用(yong)數學(xue): 數學(xue)到底有什么用(yong)?》的(de)精彩講(jiang)座。

  

  應(ying)用數學(xue) : 數學(xue)到底有(you)什么用?

  我們為什么(me)(me)要(yao)學(xue)數(shu)(shu)(shu)(shu)學(xue)?學(xue)好數(shu)(shu)(shu)(shu)學(xue)又有什么(me)(me)用(yong)?其實,“宇宙之(zhi)(zhi)大(da),粒子之(zhi)(zhi)微,火(huo)箭(jian)之(zhi)(zhi)速,化工之(zhi)(zhi)巧,地球之(zhi)(zhi)變,生(sheng)物之(zhi)(zhi)謎,日用(yong)之(zhi)(zhi)繁(fan),無處不用(yong)數(shu)(shu)(shu)(shu)學(xue)。”同時,數(shu)(shu)(shu)(shu)學(xue)也是(shi)重大(da)技術創(chuang)新發展的(de)(de)基礎。數(shu)(shu)(shu)(shu)學(xue)實力(li)往往影響著國家實力(li),幾乎所有的(de)(de)重大(da)發現都與數(shu)(shu)(shu)(shu)學(xue)的(de)(de)發展與進步息(xi)(xi)息(xi)(xi)相關。那么(me)(me),應用(yong)數(shu)(shu)(shu)(shu)學(xue)是(shi)什么(me)(me)?數(shu)(shu)(shu)(shu)學(xue)和應用(yong)數(shu)(shu)(shu)(shu)學(xue)以(yi)及人工智(zhi)能的(de)(de)關系又是(shi)什么(me)(me)?

  第一講 什么是應用數學 

  我(wo)們都(dou)知(zhi)道數學,我(wo)們都(dou)聽說過華羅(luo)庚、陳(chen)景(jing)潤(run)這樣的(de)(de)(de)數學大師,那么(me)(me),應(ying)用(yong)數學到底是什么(me)(me)?這里,我(wo)引用(yong)一下世界知(zhi)名的(de)(de)(de)應(ying)用(yong)數學家(jia)和力(li)學家(jia)林家(jia)翹(qiao)先生的(de)(de)(de)定義。林先生是美國科學院(yuan)院(yuan)士,為建設祖國的(de)(de)(de)應(ying)用(yong)數學,2002年回到中國,在(zai)清(qing)華大學成立了周培源應(ying)用(yong)數學中心。

  林家翹先生對(dui)應用數學(xue)(xue)的詮(quan)釋是: 應用數學(xue)(xue)注重主動提(ti)出(chu)研(yan)究對(dui)象(xiang)中的科學(xue)(xue)問(wen)題(ti)(ti),通過問(wen)題(ti)(ti)的解(jie)決加(jia)深對(dui)研(yan)究對(dui)象(xiang)的認識(shi)(shi),或(huo)創造出(chu)新的知識(shi)(shi)。應用數學(xue)(xue)的意(yi)義在于揭(jie)示自然界和社會實際問(wen)題(ti)(ti)的規律。

  應用(yong)數(shu)(shu)學(xue)(xue)它(ta)是(shi)(shi)(shi)不(bu)同于純(chun)(chun)數(shu)(shu)學(xue)(xue)的(de)一門獨立的(de)基礎(chu)學(xue)(xue)科,應用(yong)數(shu)(shu)學(xue)(xue)的(de)核(he)心(xin)是(shi)(shi)(shi),用(yong)數(shu)(shu)學(xue)(xue)方法(fa)來(lai)解(jie)決實(shi)際(ji)科學(xue)(xue)問(wen)題,但是(shi)(shi)(shi)純(chun)(chun)數(shu)(shu)學(xue)(xue)的(de)核(he)心(xin)是(shi)(shi)(shi)邏輯構(gou)架(jia)。簡單來(lai)說(shuo),純(chun)(chun)數(shu)(shu)學(xue)(xue)是(shi)(shi)(shi)數(shu)(shu)學(xue)(xue)的(de)核(he)心(xin),它(ta)負(fu)責完(wan)成整個(ge)邏輯構(gou)架(jia)的(de)完(wan)善(shan),那么(me)應用(yong)數(shu)(shu)學(xue)(xue)處(chu)于邊緣,負(fu)責的(de)是(shi)(shi)(shi)整個(ge)學(xue)(xue)科的(de)擴充。在(zai)過去的(de)幾(ji)百年(nian)里面,應用(yong)數(shu)(shu)學(xue)(xue)和純(chun)(chun)數(shu)(shu)學(xue)(xue)之間相(xiang)(xiang)輔相(xiang)(xiang)成,互(hu)相(xiang)(xiang)配合,使數(shu)(shu)學(xue)(xue)不(bu)斷地(di)往前推進和發展。

  現(xian)代(dai)意義上的(de)應(ying)用數(shu)(shu)學(xue)源于二戰。美(mei)國在(zai)1942年啟動的(de)“曼哈頓(dun)計(ji)(ji)劃”,很多著(zhu)名科(ke)學(xue)家(jia)都(dou)在(zai)里面作(zuo)出(chu)了(le)卓(zhuo)越的(de)貢獻,尤其孕育了(le)一批應(ying)用數(shu)(shu)學(xue)家(jia),其中就有數(shu)(shu)學(xue)界的(de)鬼才——馮·諾依曼。他做出(chu)了(le)核武器的(de)數(shu)(shu)值(zhi)模擬(ni),并且提出(chu)了(le)蒙特卡(ka)羅方法,這個方法在(zai)科(ke)學(xue)計(ji)(ji)算(suan)和人工智能(neng)等(deng)諸多領(ling)域中被廣泛使用。他還發(fa)展了(le)微分方程數(shu)(shu)值(zhi)解,造就了(le)應(ying)用數(shu)(shu)學(xue)中非常大的(de)一個學(xue)科(ke)——計(ji)(ji)算(suan)數(shu)(shu)學(xue)。

  此外(wai),馮·諾(nuo)依曼還被后人(ren)稱為“現(xian)代計算(suan)機(ji)之(zhi)父” 及“博弈論(lun)之(zhi)父”。他提出了現(xian)代計算(suan)機(ji)的邏輯結構,在橋接(jie)數學、物理、信息,以及國防的研究中,作(zuo)出了非常重要的貢(gong)獻。

  在過去,二戰時期(qi)一(yi)(yi)直到(dao)上世(shi)紀(ji)90年(nian)代左(zuo)右,應(ying)用(yong)數(shu)(shu)學(xue)的(de)(de)主(zhu)體是(shi)基于(yu)物理(li)(li)的(de)(de),因(yin)為當時很(hen)多重要的(de)(de)實際問題都是(shi)從物理(li)(li)中來。從上世(shi)紀(ji)90年(nian)代開始,逐(zhu)漸地出(chu)現了(le)基于(yu)數(shu)(shu)據的(de)(de)應(ying)用(yong)數(shu)(shu)學(xue),其中一(yi)(yi)個(ge)重要的(de)(de)例子是(shi)圖(tu)像處(chu)理(li)(li)。在圖(tu)像處(chu)理(li)(li)領域,應(ying)用(yong)數(shu)(shu)學(xue)發(fa)揮了(le)巨大的(de)(de)作用(yong),一(yi)(yi)方面推動了(le)圖(tu)像處(chu)理(li)(li)的(de)(de)發(fa)展;另一(yi)(yi)方面,也了(le)解決圖(tu)像處(chu)理(li)(li)中的(de)(de)各(ge)種問題,產生(sheng)了(le)大量(liang)的(de)(de)新(xin)的(de)(de)數(shu)(shu)學(xue)工具(ju)。另一(yi)(yi)個(ge)值得一(yi)(yi)提的(de)(de)是(shi)壓(ya)縮感知(zhi)(2005-2015年(nian)),它是(shi)信息領域的(de)(de)一(yi)(yi)場革命,其理(li)(li)論(lun)基礎就是(shi)應(ying)用(yong)數(shu)(shu)學(xue)中的(de)(de)“稀(xi)疏逼近(jin)”。

  2010年到(dao)(dao)2020年這十年是(shi)(shi)深度學(xue)(xue)(xue)習(xi)和人(ren)工(gong)智(zhi)能(neng)應用(yong)發展(zhan)的(de)(de)(de)“黃(huang)金十年”,然而(er)其面對的(de)(de)(de)最大問(wen)題(ti)之(zhi)一是(shi)(shi)缺(que)乏理論基(ji)礎,其中數(shu)學(xue)(xue)(xue)將(jiang)會(hui)起到(dao)(dao)至(zhi)關重要的(de)(de)(de)作用(yong),而(er)人(ren)工(gong)智(zhi)能(neng)的(de)(de)(de)理論基(ji)礎也將(jiang)會(hui)是(shi)(shi)應用(yong)數(shu)學(xue)(xue)(xue)未(wei)來發展(zhan)的(de)(de)(de)一個重要方向。人(ren)工(gong)智(zhi)能(neng)的(de)(de)(de)數(shu)學(xue)(xue)(xue)基(ji)礎到(dao)(dao)底是(shi)(shi)什么?如何(he)用(yong)數(shu)學(xue)(xue)(xue)來推動人(ren)工(gong)智(zhi)能(neng)的(de)(de)(de)發展(zhan)?在理解、推動人(ren)工(gong)智(zhi)能(neng)發展(zhan)的(de)(de)(de)同(tong)時,到(dao)(dao)底能(neng)凝(ning)練出什么樣(yang)新鮮(xian)的(de)(de)(de)數(shu)學(xue)(xue)(xue)問(wen)題(ti),把它再帶回到(dao)(dao)數(shu)學(xue)(xue)(xue)領(ling)域?這些還(huan)都是(shi)(shi)非常前(qian)沿的(de)(de)(de)科學(xue)(xue)(xue)研(yan)究(jiu),是(shi)(shi)科學(xue)(xue)(xue)家們還(huan)在孜孜不(bu)倦研(yan)究(jiu)的(de)(de)(de)課題(ti)。

  第二講 圖像與數學

  圖像是人類探索自然非常重要的(de)(de)(de)一(yi)類工具,進入21世紀之后(hou),圖像更是無處(chu)不在。科(ke)學研(yan)究中(zhong),使用(yong)顯微(wei)鏡(jing)可(ke)以(yi)(yi)讓(rang)我們觀察(cha)物質和生(sheng)命體的(de)(de)(de)微(wei)觀結構;借助望遠鏡(jing),可(ke)以(yi)(yi)讓(rang)幫助我們揭開浩(hao)瀚宇(yu)宙的(de)(de)(de)奧(ao)秘;通(tong)過(guo)衛星遙(yao)感,可(ke)以(yi)(yi)讓(rang)我們方(fang)便快捷的(de)(de)(de)觀測到地面的(de)(de)(de)情況(kuang)(kuang)、對未(wei)來天(tian)氣變化進行預測。在平時生(sheng)活中(zhong),手機(ji)拍(pai)(pai)照非常的(de)(de)(de)方(fang)便,拍(pai)(pai)后(hou)可(ke)以(yi)(yi)用(yong)各種各樣的(de)(de)(de)圖像處(chu)理軟件處(chu)理照片(pian)。自動(dong)駕駛領域(yu)中(zhong),可(ke)以(yi)(yi)通(tong)過(guo)相機(ji)來實(shi)時判(pan)斷路面狀況(kuang)(kuang);視頻監控時,也可(ke)以(yi)(yi)根據視頻拍(pai)(pai)攝(she)的(de)(de)(de)圖片(pian),做人臉識別等大(da)數(shu)據分(fen)析。在電(dian)腦特效和動(dong)畫(hua)領域(yu),也需(xu)要大(da)量的(de)(de)(de)圖像處(chu)理、渲染及數(shu)值仿真模(mo)擬,產生(sheng)各種各樣非常逼真的(de)(de)(de)影像。這些(xie)內容的(de)(de)(de)實(shi)現,全都離(li)不開數(shu)學。

  這里我們介紹下(xia)醫院中(zhong)最常用也(ye)是最重要(yao)的(de)(de)醫學(xue)影像之一,CT成(cheng)像。CT的(de)(de)全稱叫Computed tomography,中(zhong)文(wen)翻(fan)譯為斷層掃描技術。其實也(ye)解釋(shi)了CT成(cheng)像的(de)(de)基本原理: 一片一片掃描人(ren)體(ti),每次掃描后把得到的(de)(de)數據(ju)記錄(lu)下(xia)來。

  現代CT設(she)備(bei)的(de)(de)成像(xiang)質(zhi)量(liang)非常高(gao)(gao),CT呈(cheng)現的(de)(de)是一個(ge)三維(wei)的(de)(de)圖像(xiang),我們(men)也可(ke)(ke)以觀察其XY、YZ和XZ三個(ge)不同截面上的(de)(de)二維(wei)圖像(xiang),從這(zhe)里面可(ke)(ke)以清晰地看到人體軟組織結構及骨骼上的(de)(de)任何病變。那(nei)么,數學在這(zhe)里面起(qi)到了什么樣的(de)(de)作用?我們(men)是如(ru)何通過數學獲(huo)得這(zhe)種高(gao)(gao)質(zhi)量(liang)圖像(xiang)的(de)(de)?

  背后一個(ge)(ge)最重(zhong)要(yao)(yao)的(de)(de)數(shu)學工具叫Radon變換(拉東(dong)變換),以(yi)澳(ao)大利(li)亞(ya)數(shu)學家Radon的(de)(de)名(ming)字來(lai)命名(ming)。想了解Radon變換的(de)(de)話,需要(yao)(yao)具備(bei)微積(ji)分的(de)(de)相關知識。簡單地說(shuo),如果有一個(ge)(ge)兩元的(de)(de)函(han)數(shu)就(jiu)(jiu)是(shi)(shi)我們(men)(men)(men)想要(yao)(yao)重(zhong)建的(de)(de)圖(tu)像,雖(sui)然CT設備(bei)沒法直(zhi)(zhi)接采集(ji)到(dao)(dao)的(de)(de)每個(ge)(ge)像素點,但可以(yi)采集(ji)這(zhe)個(ge)(ge)函(han)數(shu)在平面(mian)上(shang)所(suo)(suo)有直(zhi)(zhi)線上(shang)的(de)(de)積(ji)分。所(suo)(suo)謂的(de)(de)積(ji)分就(jiu)(jiu)是(shi)(shi): 一條(tiao)直(zhi)(zhi)線穿越(yue)了函(han)數(shu),直(zhi)(zhi)線上(shang)面(mian)就(jiu)(jiu)得到(dao)(dao)一條(tiao)相應的(de)(de)曲(qu)線,把(ba)這(zhe)個(ge)(ge)曲(qu)線下面(mian)的(de)(de)面(mian)積(ji)求出(chu)來(lai),這(zhe)個(ge)(ge)結果就(jiu)(jiu)是(shi)(shi)函(han)數(shu)沿著這(zhe)條(tiao)直(zhi)(zhi)線上(shang)面(mian)的(de)(de)積(ji)分。如果把(ba)所(suo)(suo)有的(de)(de)積(ji)分數(shu)值收集(ji)起來(lai),大家所(suo)(suo)看(kan)到(dao)(dao)的(de)(de)就(jiu)(jiu)是(shi)(shi)CT設備(bei)采集(ji)到(dao)(dao)的(de)(de)數(shu)據。我們(men)(men)(men)希望(wang)通過采集(ji)的(de)(de),把(ba)我們(men)(men)(men)想要(yao)(yao)的(de)(de)CT圖(tu)像重(zhong)建出(chu)來(lai)。

  通過Radon變(bian)換(huan)(huan)來描(miao)述(shu)CT成像(xiang)是(shi)第一(yi)個(ge)數(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)(xue)問題,就(jiu)是(shi)機(ji)器是(shi)怎(zen)(zen)么采集數(shu)(shu)(shu)據(ju)的(de)(de)(de)。第二個(ge)數(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)(xue)問題就(jiu)是(shi),我們得到這個(ge)數(shu)(shu)(shu)據(ju)之(zhi)后,怎(zen)(zen)么轉(zhuan)換(huan)(huan)成醫(yi)(yi)生想要(yao)(yao)的(de)(de)(de)CT圖像(xiang)。這個(ge)對應(ying)的(de)(de)(de)數(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)(xue)基礎(chu)就(jiu)是(shi)如何(he)求(qiu)解大規模的(de)(de)(de)線性方(fang)程(cheng)組。在這里面作出(chu)重(zhong)(zhong)要(yao)(yao)貢獻的(de)(de)(de)是(shi)波蘭數(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)(xue)家Kaczmarz,他在1937年描(miao)述(shu)了(le)怎(zen)(zen)么用一(yi)種迭代(dai)方(fang)法(fa)來求(qiu)解大規模的(de)(de)(de)線性方(fang)程(cheng)組。采用這種算法(fa),就(jiu)可以重(zhong)(zhong)建出(chu)醫(yi)(yi)生想要(yao)(yao)看(kan)(kan)到的(de)(de)(de)CT圖像(xiang)。基于Kaczmarz這個(ge)迭代(dai)算法(fa),曾獲得諾貝爾醫(yi)(yi)學(xue)(xue)(xue)獎的(de)(de)(de)科(ke)學(xue)(xue)(xue)家Cormack,設計出(chu)了(le)一(yi)個(ge)高效的(de)(de)(de)迭代(dai)算法(fa),叫(jiao)做代(dai)數(shu)(shu)(shu)重(zhong)(zhong)建算法(fa),從而實現了(le)從采集到的(de)(de)(de)數(shu)(shu)(shu)據(ju),反演得到醫(yi)(yi)生想要(yao)(yao)看(kan)(kan)到的(de)(de)(de)CT圖像(xiang)的(de)(de)(de)過程(cheng)。

  CT圖像重建至今仍(reng)然是一個(ge)非常前沿的研(yan)究課(ke)題,我(wo)本(ben)人也在CT成像中做了(le)很多工作。我(wo)們在不斷追求的目標(biao)是把(ba)X光對(dui)人體的傷(shang)害降(jiang)到最(zui)低,同(tong)時把(ba)CT成像的質量提到最(zui)高。

  下一個例(li)子就(jiu)是電(dian)腦(nao)特(te)效與(yu)動畫。如果我們(men)想要讓計算機產(chan)生一個特(te)效動畫,需要什么樣(yang)的(de)數學工具呢?

  首(shou)先,我們(men)要(yao)思考一個虛擬的物體或者(zhe)人,如何(he)在(zai)電腦(nao)中(zhong)表(biao)達,這(zhe)就涉及到第一個問題,就是幾何(he)體的數(shu)學表(biao)達。

  粗(cu)略來講(jiang)有兩種不同(tong)的(de)(de)(de)表達方(fang)式,第一種叫三角(jiao)(jiao)剖分曲面(mian)(mian)。一個(ge)(ge)三角(jiao)(jiao)剖分曲面(mian)(mian)是由眾多三角(jiao)(jiao)形組成,每一個(ge)(ge)三角(jiao)(jiao)形都(dou)是由頂點、邊和(he)面(mian)(mian)組成,這是一個(ge)(ge)非(fei)常(chang)(chang)精巧(qiao)的(de)(de)(de)數學結構(gou)。用三角(jiao)(jiao)剖分可以構(gou)建非(fei)常(chang)(chang)復雜的(de)(de)(de)曲面(mian)(mian)結構(gou),同(tong)時(shi)也可以在(zai)這個(ge)(ge)曲面(mian)(mian)上(shang)做非(fei)常(chang)(chang)復雜的(de)(de)(de)計算,比如算這個(ge)(ge)曲面(mian)(mian)的(de)(de)(de)局部曲率(lv)、曲面(mian)(mian)的(de)(de)(de)表面(mian)(mian)面(mian)(mian)積,以及在(zai)曲面(mian)(mian)上(shang)求解(jie)方(fang)程。

  另(ling)外一種(zhong)表(biao)達(da)叫隱式表(biao)達(da),最有(you)代表(biao)性的(de)(de)例子(zi)是水(shui)平集(ji)函數(shu)(shu)(shu)(shu)表(biao)達(da)。我們(men)想(xiang)象(xiang)有(you)一個二元函數(shu)(shu)(shu)(shu),這個函數(shu)(shu)(shu)(shu)在x、y和z平面呈現(xian)的(de)(de)形態(tai)像一個山包,所(suo)(suo)謂(wei)的(de)(de)水(shui)平集(ji),就(jiu)是這個函數(shu)(shu)(shu)(shu)值(zhi)z等于(yu)一個固(gu)定數(shu)(shu)(shu)(shu)值(zhi)的(de)(de)所(suo)(suo)有(you)點(dian)x,y組成(cheng)的(de)(de)集(ji)合(he)。可以(yi)想(xiang)象(xiang)你用一個水(shui)平的(de)(de)平面去切(qie)這個函數(shu)(shu)(shu)(shu),交點(dian)組成(cheng)的(de)(de)集(ji)合(he)就(jiu)是一個水(shui)平集(ji)。通常我們(men)考(kao)慮0水(shui)平集(ji),即所(suo)(suo)有(you)函數(shu)(shu)(shu)(shu)值(zhi)為(wei)0的(de)(de)點(dian)組成(cheng)的(de)(de)集(ji)合(he)。

  有了水平集的(de)表達(da)之后,就可(ke)以很方便地去做一(yi)些復雜(za)的(de)動(dong)畫模擬。比如做一(yi)個(ge)水珠(zhu)分裂(lie)成(cheng)兩(liang)個(ge)水珠(zhu)的(de)動(dong)畫,可(ke)以把水珠(zhu)對應的(de)水平集函數逐漸向下(xia)拉,展(zhan)現的(de)動(dong)畫形態就是從一(yi)個(ge)連通(tong)的(de)區域(yu)(yu)(一(yi)個(ge)水珠(zhu))慢慢地斷裂(lie),變(bian)成(cheng)兩(liang)個(ge)區域(yu)(yu),即(ji)實現了一(yi)顆水珠(zhu)分裂(lie)成(cheng)兩(liang)顆水珠(zhu)的(de)動(dong)畫。

  如果(guo)想生成非常(chang)(chang)復(fu)雜的(de)(de)動畫(hua)或電(dian)腦特效,得(de)讓幾何體(ti)能(neng)夠動起來(lai)。用(yong)數學(xue)方法,嚴格來(lai)講叫數值計算,不但能(neng)讓幾何體(ti)動起來(lai),而(er)且還(huan)能(neng)動得(de)非常(chang)(chang)逼(bi)(bi)真。比如,電(dian)影《終(zhong)結者》里(li)面(mian)的(de)(de)液態機(ji)器(qi)人,慢(man)慢(man)地被液化;電(dian)影《加勒比海盜》中世界盡頭的(de)(de)大漩渦,這里(li)面(mian)牽涉到(dao)的(de)(de)都(dou)是對液體(ti)的(de)(de)模擬(ni)。對液體(ti)的(de)(de)模擬(ni),需要用(yong)剛才所提到(dao)的(de)(de)水平集函數,求解一個非常(chang)(chang)復(fu)雜的(de)(de)微分方程(cheng)。當然,其他(ta)動畫(hua)效果(guo)也(ye)大多基于物理規(gui)律來(lai)求解微分方程(cheng),從而(er)做出(chu)非常(chang)(chang)逼(bi)(bi)真的(de)(de)模擬(ni)。

  上面提到(dao)的這些工作(zuo)都是(shi)一個(ge)非常著名的應(ying)用數(shu)學(xue)(xue)(xue)家、計算機科(ke)學(xue)(xue)(xue)家Ronald Fedkiw做出來的,他是(shi)斯坦福大學(xue)(xue)(xue)的教授,同時也是(shi)我的師兄。我們的博(bo)士導師都是(shi)加州(zhou)大學(xue)(xue)(xue)洛(luo)杉磯分校(UCLA)著名應(ying)用數(shu)學(xue)(xue)(xue)家、美國科(ke)學(xue)(xue)(xue)院和(he)工程院院士Stanley Osher。因(yin)為Fedkiw在流(liu)體模擬特效領域(yu)作(zuo)出了卓(zhuo)越的貢獻,他獲得了2008年奧(ao)斯卡(ka)技術(shu)成就獎(jiang)。

  所以,有(you)時候我跟(gen)學生們半開玩笑地講,做數學的也(ye)是有(you)可能獲得奧斯卡的。據(ju)我師兄Ronald Fedkiw回憶,得獎的時候他非常激動,除了獲得榮譽(yu),還(huan)因(yin)為頒獎人是他心中的女神Jessica Alba,這兩個原因(yin)都讓他對那一刻(ke)終(zhong)生難忘。

  第三講 人工智能與數學

  人工智能的(de)大概發展歷(li)程是(shi)什(shen)么?背后(hou)到底跟(gen)數(shu)學有什(shen)么樣(yang)的(de)關(guan)系?接下(xia)來我將詳(xiang)細介紹一下(xia)。

  《列子·湯問》曾記(ji)載過,3000年前的(de)(de)周(zhou)穆王時代,已有能工(gong)巧匠造(zao)出了(le)能歌(ge)善舞,活靈活現的(de)(de)“人(ren)(ren)(ren)(ren)造(zao)人(ren)(ren)(ren)(ren)”。更(geng)厲害的(de)(de)是(shi)(shi),穆王甚至(zhi)看不出這(zhe)個(ge)“人(ren)(ren)(ren)(ren)造(zao)人(ren)(ren)(ren)(ren)”和(he)真人(ren)(ren)(ren)(ren)的(de)(de)區別(bie)。這(zhe)個(ge)故事其實也暗含了(le)圖靈測試(shi)的(de)(de)思想。所謂的(de)(de)圖靈測試(shi)是(shi)(shi),一(yi)(yi)個(ge)人(ren)(ren)(ren)(ren)和(he)機(ji)器(qi)分別(bie)被(bei)安(an)置在兩個(ge)密封房(fang)間,外面另一(yi)(yi)個(ge)人(ren)(ren)(ren)(ren)和(he)他們(men)進行交流,但看不到房(fang)間內是(shi)(shi)人(ren)(ren)(ren)(ren)還(huan)是(shi)(shi)機(ji)器(qi),如果外面的(de)(de)人(ren)(ren)(ren)(ren)無法分辨(bian)哪一(yi)(yi)個(ge)房(fang)間里(li)是(shi)(shi)人(ren)(ren)(ren)(ren)哪一(yi)(yi)個(ge)是(shi)(shi)機(ji)器(qi),那么說明(ming)這(zhe)個(ge)機(ji)器(qi)已經(jing)達到了(le)一(yi)(yi)定的(de)(de)“人(ren)(ren)(ren)(ren)工(gong)智能”的(de)(de)水平。

  在第一臺(tai)計(ji)(ji)算機(ji)(ji)(ji)(ji)出(chu)現(xian)之后(hou),現(xian)代(dai)意義上的(de)(de)人工智能才(cai)成(cheng)為了可(ke)能。第一臺(tai)電子(zi)計(ji)(ji)算機(ji)(ji)(ji)(ji)誕生在1941年,由德國工程(cheng)師康(kang)拉德·楚澤制造。楚澤畢(bi)業之后(hou)一直在德國的(de)(de)一家飛機(ji)(ji)(ji)(ji)制造廠,主要工作(zuo)就是(shi)計(ji)(ji)算各(ge)種各(ge)樣飛機(ji)(ji)(ji)(ji)機(ji)(ji)(ji)(ji)翼的(de)(de)受力,這是(shi)一個(ge)非常復(fu)雜(za)的(de)(de)計(ji)(ji)算過程(cheng)。而(er)在那個(ge)時候(hou),他所能夠使用的(de)(de)工具(ju)僅僅只是(shi)簡單(dan)的(de)(de)計(ji)(ji)算尺。繁瑣的(de)(de)工作(zuo)給了大巨大的(de)(de)動(dong)力,他設(she)想通過設(she)計(ji)(ji)一臺(tai)機(ji)(ji)(ji)(ji)器,來替他完成(cheng)繁瑣復(fu)雜(za)的(de)(de)計(ji)(ji)算。雖然它是(shi)第一臺(tai)圖(tu)靈完備的(de)(de)計(ji)(ji)算機(ji)(ji)(ji)(ji),但(dan)現(xian)代(dai)意義的(de)(de)計(ji)(ji)算機(ji)(ji)(ji)(ji),還(huan)是(shi)在馮(feng)·諾依曼(man)奠定了計(ji)(ji)算機(ji)(ji)(ji)(ji)的(de)(de)邏輯基礎(chu)之后(hou)才(cai)被制造出(chu)來。

  1956年,人(ren)(ren)工(gong)(gong)智(zhi)能(artificial intelligence)一(yi)詞在達特茅斯(si)會議上(shang)被提出,會議的發(fa)起人(ren)(ren)John MacCarthy是達特茅斯(si)大學數學系的一(yi)名助理教授。上(shang)世(shi)紀50年代(dai)-70年代(dai)期(qi)間,人(ren)(ren)工(gong)(gong)智(zhi)能一(yi)直(zhi)穩步地向前發(fa)展。當時(shi)美國(guo)發(fa)展人(ren)(ren)工(gong)(gong)智(zhi)能的一(yi)個很大的動(dong)力在于,冷戰時(shi)期(qi),美國(guo)截獲了(le)蘇聯大量情報,亟須設計(ji)出一(yi)個人(ren)(ren)工(gong)(gong)智(zhi)能算法,能夠自(zi)動(dong)地把俄文(wen)翻譯成英(ying)文(wen)。

  1974年開始,人工(gong)智能進入了第(di)一(yi)次寒冬。很多科(ke)(ke)學(xue)家發(fa)(fa)現,當時(shi)機器翻譯的算法(fa)需要(yao)大(da)量人工(gong)介(jie)入,十分不智能。在(zai)圖(tu)像識別方(fang)面(mian),當時(shi)的科(ke)(ke)學(xue)家設想可以(yi)設計(ji)出一(yi)個(ge)機械臂,可以(yi)自動辨識、抓(zhua)取和(he)移動物體,然而他們發(fa)(fa)現,僅(jin)僅(jin)是讓機器能夠識別物體這個(ge)看似簡單的任(ren)務(wu)就(jiu)遭(zao)遇到非(fei)常多的困難。第(di)一(yi)次寒冬的出現,主要(yao)因為(wei)大(da)量失敗(bai)的案例,再(zai)加上那(nei)個(ge)時(shi)候(hou)計(ji)算和(he)存儲資源都非(fei)常匱(kui)乏(fa),所以(yi)當時(shi)想要(yao)真正(zheng)實(shi)現人工(gong)智能,其實(shi)還(huan)不到時(shi)候(hou)。

  1980年(nian)-1987年(nian)這(zhe)段時間(jian),人工(gong)智(zhi)(zhi)能出(chu)現(xian)(xian)了回暖(nuan),專(zhuan)(zhuan)家系(xi)(xi)統的出(chu)現(xian)(xian),讓人們再次看到(dao)了人工(gong)智(zhi)(zhi)能的希望。但好景不長,隨(sui)著專(zhuan)(zhuan)家系(xi)(xi)統很快走到(dao)了它的極限,人工(gong)智(zhi)(zhi)能又進入了第(di)二(er)次寒冬。專(zhuan)(zhuan)家系(xi)(xi)統的主(zhu)要問(wen)題在于更新維護困(kun)難,不能像人類一樣實(shi)現(xian)(xian)真(zhen)正意義上的學習,可(ke)擴(kuo)展(zhan)性比較差。

  1993年到2011年左右,人(ren)(ren)工智(zhi)能迎來了(le)春(chun)天(tian)。一是(shi)計算(suan)機的計算(suan)能力(li)大幅度提升。此外,數據采集、傳輸、存儲的能力(li)也在(zai)不(bu)斷(duan)地攀升,數據量越來越大。這些都(dou)為人(ren)(ren)工智(zhi)能的發展(zhan)創造了(le)必(bi)要(yao)條件。

  還(huan)有(you)另外一(yi)個非常重要的(de)原因,叫”the victory of the neats”,提出這個說法的(de)是(shi)著名(ming)計算機(ji)科學(xue)(xue)家(jia)Peter Norvig 和 Stuart Russell,意指AI研(yan)究人(ren)員開始大量地去使用數(shu)學(xue)(xue)工(gong)(gong)(gong)(gong)(gong)具,也不停地創造新(xin)的(de)數(shu)學(xue)(xue)工(gong)(gong)(gong)(gong)(gong)具。所以說,二戰之(zhi)后一(yi)直(zhi)到21世紀初(chu),數(shu)學(xue)(xue)的(de)長足發(fa)展,產(chan)生了大量的(de)基礎的(de)數(shu)學(xue)(xue)工(gong)(gong)(gong)(gong)(gong)具,有(you)些可以直(zhi)接被應用在人(ren)工(gong)(gong)(gong)(gong)(gong)智能的(de)發(fa)展中(zhong),基于這些數(shu)學(xue)(xue)工(gong)(gong)(gong)(gong)(gong)具,也可以制造出更多(duo)新(xin)的(de)數(shu)學(xue)(xue)工(gong)(gong)(gong)(gong)(gong)具,來幫助人(ren)工(gong)(gong)(gong)(gong)(gong)智能的(de)發(fa)展。

  我也推薦(jian)給同學們兩本書,一本是(shi)叫Artificial intelligence — A MODERN APPROACH,另外一本是(shi)Machines Who Think。它們介紹(shao)了人工智(zhi)能的發展,非常(chang)有(you)意思(si)。

  前(qian)幾年(nian)(nian),DeepMind公司(si)(si)的(de)(de)AlphaGo戰勝人(ren)類之后,有不少人(ren)批評DeepMind,認(ren)為公司(si)(si)花(hua)了(le)這么(me)多錢,最后就(jiu)只是用(yong)(yong)人(ren)工智能(neng)在(zai)圍棋(qi)上(shang)戰勝了(le)人(ren)類,它的(de)(de)實際應用(yong)(yong)的(de)(de)意義在(zai)哪里?于(yu)是,DeepMind先后在(zai)2018年(nian)(nian)和(he)2020年(nian)(nian)推出了(le)第一和(he)第二代模型Alphafold。這個模型解(jie)決了(le)在(zai)科學領域(yu)一個非常基礎(chu)且重(zhong)要的(de)(de)問題: 預測(ce)蛋白質(zhi)的(de)(de)折疊(die)。這個科學問題是Science雜志在(zai)2016年(nian)(nian)列舉(ju)的(de)(de)本世紀最前(qian)沿的(de)(de)120個科學問題中的(de)(de)第58個問題: 我們是否(fou)能(neng)夠根據(ju)蛋白質(zhi)的(de)(de)DNA測(ce)序來預測(ce)它的(de)(de)折疊(die)?即蛋白質(zhi)在(zai)三(san)維空(kong)間(jian)的(de)(de)形態。

  因為現有(you)對于(yu)蛋(dan)白(bai)質(zhi)測(ce)序的(de)數據(ju)浩(hao)如煙海,而想得(de)到它(ta)(ta)(ta)的(de)三(san)維(wei)結(jie)構(gou)(gou)(gou)非常困(kun)難。冷凍電(dian)鏡雖(sui)然能(neng)夠看到蛋(dan)白(bai)質(zhi)三(san)維(wei)形態,但設備本身和維(wei)護運行都非常昂貴,采集到數據(ju)后,需(xu)要(yao)對它(ta)(ta)(ta)進行一(yi)(yi)系列復雜的(de)處理,最后才能(neng)得(de)到一(yi)(yi)個比較高質(zhi)量的(de)三(san)維(wei)結(jie)構(gou)(gou)(gou),整個過程需(xu)要(yao)花(hua)大量的(de)人力(li)和物力(li)。Alphafold的(de)最大價(jia)值在于(yu),它(ta)(ta)(ta)可以基于(yu)現有(you)的(de)DNA序列和對應的(de)三(san)維(wei)結(jie)構(gou)(gou)(gou),使用深層神經網(wang)絡去預測(ce)它(ta)(ta)(ta)們之間的(de)映(ying)射關(guan)系,實現蛋(dan)白(bai)質(zhi)三(san)維(wei)結(jie)構(gou)(gou)(gou)的(de)快速、準確(que)的(de)預測(ce)。

  Alphafold預測的(de)(de)(de)(de)三維(wei)結構(gou)(gou),和(he)實際的(de)(de)(de)(de)生(sheng)物(wu)試驗得(de)到的(de)(de)(de)(de)三維(wei)結構(gou)(gou)已經非常接近,這個也使得(de)它成為了(le)在結構(gou)(gou)生(sheng)物(wu)學(xue)中(zhong)一個全新的(de)(de)(de)(de)、重要的(de)(de)(de)(de)科學(xue)工具,是人(ren)工智能賦能科學(xue)探索的(de)(de)(de)(de)一個重要的(de)(de)(de)(de)例(li)子。

  那么,圖像識(shi)別(bie)背(bei)后的(de)數(shu)學(xue)(xue)到底是(shi)什么?目前,能夠(gou)真正地解決(jue)圖像識(shi)別(bie)這個(ge)難題(ti),我們可以使用“人工神經網絡”這個(ge)源(yuan)于神經科學(xue)(xue)的(de)數(shu)學(xue)(xue)模型。

  什么是(shi)(人工)神(shen)經(jing)(jing)(jing)(jing)網(wang)絡?神(shen)經(jing)(jing)(jing)(jing)網(wang)絡是(shi)由多個(ge)(ge)(ge)神(shen)經(jing)(jing)(jing)(jing)元鏈接而成的(de)(de)(de)網(wang)絡,每一個(ge)(ge)(ge)神(shen)經(jing)(jing)(jing)(jing)元有(you)很(hen)多的(de)(de)(de)邊(bian),比如說最中間的(de)(de)(de)神(shen)經(jing)(jing)(jing)(jing)元,與其相連的(de)(de)(de)那些邊(bian)把(ba)數據(ju)輸入到(dao)這(zhe)個(ge)(ge)(ge)神(shen)經(jing)(jing)(jing)(jing)元,同時它也給下(xia)(xia)一層(ceng)的(de)(de)(de)神(shen)經(jing)(jing)(jing)(jing)元輸入處理過后的(de)(de)(de)數據(ju),這(zhe)是(shi)對人類(lei)大腦神(shen)經(jing)(jing)(jing)(jing)元工作(zuo)機制的(de)(de)(de)一個(ge)(ge)(ge)近似。每一個(ge)(ge)(ge)神(shen)經(jing)(jing)(jing)(jing)元的(de)(de)(de)形式都(dou)非常簡(jian)單(dan),它把(ba)輸入的(de)(de)(de)信號進行(xing)很(hen)簡(jian)單(dan)的(de)(de)(de)線(xian)性(xing)組合,然后經(jing)(jing)(jing)(jing)過一個(ge)(ge)(ge)非常簡(jian)單(dan)的(de)(de)(de)非線(xian)性(xing)函數,得到(dao)了該神(shen)經(jing)(jing)(jing)(jing)元的(de)(de)(de)輸出,并(bing)且把(ba)它輸入到(dao)下(xia)(xia)一層(ceng)的(de)(de)(de)神(shen)經(jing)(jing)(jing)(jing)元。

  盡管每一個(ge)(ge)神(shen)(shen)(shen)經(jing)(jing)(jing)元(yuan)(yuan)它的(de)功能(neng)非(fei)常簡單,是(shi)對大腦神(shen)(shen)(shen)經(jing)(jing)(jing)元(yuan)(yuan)一個(ge)(ge)非(fei)常粗糙的(de)模擬,但是(shi)我(wo)們可以(yi)把神(shen)(shen)(shen)經(jing)(jing)(jing)元(yuan)(yuan)通過線性(xing)疊(die)加和復合的(de)方式,把簡單的(de)神(shen)(shen)(shen)經(jing)(jing)(jing)元(yuan)(yuan)函數(shu)疊(die)加起來形成深層神(shen)(shen)(shen)經(jing)(jing)(jing)網(wang)(wang)絡(luo)(luo),從而實現(xian)非(fei)常復雜的(de)功能(neng)。在一些(xie)復雜的(de)圖像(xiang)識(shi)別任務(wu)中,我(wo)們使(shi)用的(de)神(shen)(shen)(shen)經(jing)(jing)(jing)網(wang)(wang)絡(luo)(luo)的(de)層數(shu)可以(yi)達(da)到成百(bai)上千(qian),所需要訓(xun)練的(de)參數(shu)可能(neng)會是(shi)億、百(bai)億、千(qian)億級別。在一些(xie)任務(wu)中,當神(shen)(shen)(shen)經(jing)(jing)(jing)網(wang)(wang)絡(luo)(luo)參數(shu)量達(da)到這個(ge)(ge)量級之(zhi)后,量變引(yin)發了(le)質變,使(shi)得人工智能(neng)系統越來越接近甚至超越人類智能(neng)。

  但是(shi),現在(zai)的(de)很多(duo)成功(gong)的(de)人(ren)工(gong)智能(neng)模型,在(zai)很多(duo)情(qing)(qing)況(kuang)下還(huan)是(shi)基于海(hai)(hai)量的(de)大樣本(ben)來學(xue)習的(de),然而我(wo)們人(ren)類從來都不需(xu)要(yao)從海(hai)(hai)量的(de)數據中學(xue)習知識,這是(shi)目前(qian)基于深層(ceng)神經(jing)網(wang)絡的(de)人(ren)工(gong)智能(neng)面(mian)臨的(de)一個非(fei)常大的(de)挑戰,即(ji)如何(he)從少(shao)量的(de)樣本(ben)中有效的(de)學(xue)習知識。此外,人(ren)工(gong)智能(neng)在(zai)諸如對肢體的(de)控制、語言理解(jie)、情(qing)(qing)感交流、邏輯思維(wei)等方面(mian),還(huan)未達到(dao)人(ren)類4-8歲孩子的(de)水(shui)平(ping),可謂任重而道遠。

  人工智(zhi)能面臨這些(xie)挑戰(zhan)的(de)一個重要原(yuan)因,我認為(wei)就是(shi)數(shu)學基礎的(de)薄弱(ruo)。在這里援引(yin)徐匡迪(di)院士2019年的(de)一次講話,他(ta)認為(wei),數(shu)學基礎薄弱(ruo)是(shi)人工智(zhi)能產業的(de)一個軟肋,他(ta)呼吁(yu)更多數(shu)學家能夠投入到人工智(zhi)能研究(jiu)中。

  我(wo)也曾(ceng)跟(gen)很多人工(gong)智(zhi)(zhi)能(neng)(neng)領域不(bu)(bu)(bu)同分(fen)支的(de)(de)科研工(gong)作(zuo)者進行過探討,他(ta)們是非常(chang)希望能(neng)(neng)夠和數(shu)學(xue)家合作(zuo),認為數(shu)學(xue)會對人工(gong)智(zhi)(zhi)能(neng)(neng)的(de)(de)發展作(zuo)出(chu)重要的(de)(de)貢獻。只不(bu)(bu)(bu)過,到底使(shi)用什么(me)樣的(de)(de)數(shu)學(xue)方法,現有的(de)(de)數(shu)學(xue)工(gong)具到底夠不(bu)(bu)(bu)夠用,需(xu)要提出(chu)什么(me)樣的(de)(de)新(xin)數(shu)學(xue)工(gong)具,才能(neng)(neng)夠更(geng)好地(di)解(jie)決人工(gong)智(zhi)(zhi)能(neng)(neng)里(li)面的(de)(de)各種瓶頸問(wen)題——這些都是人工(gong)智(zhi)(zhi)能(neng)(neng)理論基礎正在研究的(de)(de)前沿(yan)問(wen)題。

  第四講 我的數學之路

  最后,也給(gei)大(da)家講一講我(wo)是怎(zen)么走上數(shu)學(xue)研(yan)究的(de)道路的(de),通過分享求學(xue)到做(zuo)研(yan)究工作的(de)經歷(li),談一談我(wo)在科研(yan)中(zhong)的(de)一些(xie)體會(hui),以及對數(shu)學(xue)的(de)一些(xie)感悟。

  我(wo)的(de)母親(qin)是清華大學(xue)化(hua)(hua)(hua)學(xue)系的(de)教授,1999年報高考志愿(yuan)時(shi),我(wo)有(you)子承母業的(de)想(xiang)法,也(ye)去學(xue)化(hua)(hua)(hua)學(xue)。但是,從小到(dao)大,我(wo)從沒有(you)認真(zhen)思考過我(wo)喜歡(huan)做什(shen)么(me),只是很自然地想(xiang),既然對化(hua)(hua)(hua)學(xue)接觸非常多,那我(wo)也(ye)去學(xue)化(hua)(hua)(hua)學(xue)好了(le)(le)。所以我(wo)就報了(le)(le)北京大學(xue)化(hua)(hua)(hua)學(xue)系。最后(hou)(hou)很不巧,分(fen)數不夠,化(hua)(hua)(hua)學(xue)系招滿了(le)(le),最后(hou)(hou)我(wo)就被調劑(ji)到(dao)了(le)(le)數學(xue)系。

  這種(zhong)情況現在不可(ke)(ke)能出現了(le),因為現在北大數(shu)學(xue)(xue)(xue)的(de)分數(shu)僅次于光(guang)華管理學(xue)(xue)(xue)院(yuan)。那時的(de)運氣比較好,當時數(shu)學(xue)(xue)(xue)科學(xue)(xue)(xue)學(xue)(xue)(xue)院(yuan)的(de)院(yuan)長張繼(ji)平發(fa)話說: 這些學(xue)(xue)(xue)生你們收(shou)不下來,那就(jiu)(jiu)來數(shu)學(xue)(xue)(xue)系。化學(xue)(xue)(xue)系的(de)實驗臺(tai)是(shi)有(you)數(shu)量限制的(de),但只要給你一根筆(bi)、一張紙,你就(jiu)(jiu)可(ke)(ke)以做數(shu)學(xue)(xue)(xue)。當時,我們那一屆有(you)很多人就(jiu)(jiu)是(shi)這樣進了(le)北大數(shu)學(xue)(xue)(xue)。

  這個學年是(shi)我從高中進(jin)入大(da)學的第一(yi)年,大(da)學生活和(he)高中真(zhen)的非常不一(yi)樣(yang)。大(da)學的老師基本上講完課就走了,和(he)學生的互動非常有限。如果不積極(ji)地去(qu)找(zhao)他提問題的話,他不會特別地關心每一(yi)個同學的學習進(jin)展。所(suo)以進(jin)入大(da)學之后,首先要學會規劃(hua)分配自己的時(shi)間(jian),什(shen)么時(shi)候學習,什(shen)么時(shi)候鍛煉(lian),什(shen)么時(shi)候休閑娛樂等(deng)。

  第一(yi)年的數(shu)學課(ke)(ke),包括非常基礎的數(shu)學分析、線性代(dai)(dai)數(shu)和(he)幾(ji)何。我不喜歡幾(ji)何和(he)代(dai)(dai)數(shu),但是發現函(han)數(shu)展開非常有意思。數(shu)學分析的授課(ke)(ke)老(lao)師彭立(li)中(zhong)教授(現已退休),在(zai)(zai)課(ke)(ke)堂(tang)上(shang)超綱(gang)講了(le)(le)關于(yu)小(xiao)波(bo)(bo)(bo)函(han)數(shu)的內容,彭立(li)中(zhong)老(lao)師自己一(yi)直在(zai)(zai)做(zuo)小(xiao)波(bo)(bo)(bo)的研究(jiu)。當(dang)時在(zai)(zai)基礎課(ke)(ke)的課(ke)(ke)堂(tang)上(shang),老(lao)師們很少(shao)會講超綱(gang)內容,彭老(lao)師雖(sui)然(ran)介(jie)紹(shao)的很簡單,但在(zai)(zai)我腦海中(zhong)留下很深的烙印(yin),覺得小(xiao)波(bo)(bo)(bo)函(han)數(shu)非常酷,這(zhe)也為我后(hou)來(lai)在(zai)(zai)研究(jiu)生(sheng)階段(duan)選(xuan)擇(ze)學習和(he)研究(jiu)小(xiao)波(bo)(bo)(bo)埋下了(le)(le)種子(zi)。

  之后,我的(de)大(da)二、大(da)三(san)、大(da)四的(de)生(sheng)活都非常豐(feng)(feng)富多彩。當然,這個豐(feng)(feng)富是(shi)在學習以外: 比如說音樂和電影,還有(you)籃(lan)球和游戲。暴雪(xue)是(shi)我非常崇拜的(de)一(yi)個游戲公司,他們設計(ji)游戲時的(de)理(li)念是(shi): 精益(yi)求精,要(yao)么(me)不做(zuo)(zuo)(zuo),要(yao)么(me)就做(zuo)(zuo)(zuo)精品。這種設計(ji)理(li)念對我今后的(de)研(yan)究也產生(sheng)了(le)一(yi)些影響: 要(yao)做(zuo)(zuo)(zuo)研(yan)究的(de)話,要(yao)么(me)不做(zuo)(zuo)(zuo),要(yao)做(zuo)(zuo)(zuo)就做(zuo)(zuo)(zuo)精益(yi)求精的(de)研(yan)究。

  最后(hou),我(wo)(wo)以“驚人”的(de)(de)成績本科畢業——基礎(chu)數學(xue)(xue)系的(de)(de)第二名(ming),不(bu)過(guo)是倒數第二名(ming)。我(wo)(wo)反(fan)省了一下為什么沒有(you)認(ren)真地學(xue)(xue)習數學(xue)(xue),我(wo)(wo)認(ren)為主要是沒有(you)真正(zheng)對(dui)基礎(chu)數學(xue)(xue)本身(shen)感興(xing)趣,在學(xue)(xue)很多抽象概(gai)念(nian)的(de)(de)時(shi)候,我(wo)(wo)不(bu)知道(dao)這些抽象的(de)(de)概(gai)念(nian)到底跟現實的(de)(de)生活有(you)什么樣(yang)的(de)(de)關系,因此也(ye)沒有(you)學(xue)(xue)習數學(xue)(xue)的(de)(de)動(dong)力。

  我(wo)認為,我(wo)人生一個很(hen)大的(de)(de)轉折點(dian)從讀研開始,當時我(wo)很(hen)有幸去到新(xin)加坡國立(li)(li)大學攻讀碩士。選(xuan)擇方向(xiang)的(de)(de)時候,我(wo)腦子里第一時間(jian)想(xiang)到大一時候,彭立(li)(li)中老師講數學分析(xi)時提(ti)到的(de)(de)小波(bo)函數。新(xin)加坡國立(li)(li)大學的(de)(de)沈佐偉教授在小波(bo)方面(mian)造詣很(hen)深,我(wo)很(hen)想(xiang)跟沈佐偉老師去做小波(bo),也非(fei)常感謝(xie)沈佐偉老師給了我(wo)這(zhe)(zhe)個學習機會,讓我(wo)進入到小波(bo)這(zhe)(zhe)樣一個非(fei)常有趣的(de)(de)領(ling)域(yu)。

  但(dan)是,因為(wei)我在本科(ke)時(shi)候并沒有把數學(xue)(xue)(xue)的(de)基礎(chu)打好,所以我花(hua)了(le)(le)(le)漫長的(de)時(shi)間去彌補(bu)。不過,這時(shi)候目的(de)是為(wei)了(le)(le)(le)能搞懂小波這個非(fei)常酷的(de)數學(xue)(xue)(xue)概(gai)念(nian)和方法,我學(xue)(xue)(xue)習(xi)的(de)動(dong)力非(fei)常足。研究(jiu)生(sheng)畢業時(shi),兩(liang)年(nian)時(shi)間我寫了(le)(le)(le)三(san)篇(pian)論(lun)文,相對比較高產,也(ye)算正式地(di)入門了(le)(le)(le)科(ke)研,然后也(ye)體會到了(le)(le)(le)數學(xue)(xue)(xue)學(xue)(xue)(xue)科(ke),特別是做應(ying)用數學(xue)(xue)(xue)研究(jiu)的(de)樂趣。

  讀(du)博(bo)士時(shi)我(wo)(wo)去了(le)UCLA,師從Stanley Osher ,研究圖像和數學(xue),即用(yong)數學(xue)來(lai)做圖像處理(li)。當(dang)時(shi)在學(xue)習(xi)過程中,我(wo)(wo)最大體會是“出來(lai)混總是要(yao)還(huan)的(de)”,因為我(wo)(wo)本科時(shi)候沒有把(ba)數學(xue)的(de)基礎知(zhi)識打(da)牢,當(dang)我(wo)(wo)真正想用(yong)它來(lai)做一些我(wo)(wo)感興趣的(de)事情(qing)時(shi),發現我(wo)(wo)的(de)數學(xue)基礎不夠。所以,我(wo)(wo)又進一步地惡補了(le)一把(ba)數學(xue)。

  我(wo)在(zai)攻讀(du)博士學(xue)位期間并不是(shi)一帆(fan)風順,也(ye)(ye)遇到(dao)了各種挫折(zhe),我(wo)也(ye)(ye)曾經萌生碩士畢業就(jiu)去工業界的(de)(de)想法(fa),但最后還是(shi)堅(jian)持了下(xia)來。我(wo)的(de)(de)體(ti)會是(shi),如(ru)果(guo)(guo)你能堅(jian)持,很(hen)多時(shi)候成功就(jiu)在(zai)拐角。讀(du)博的(de)(de)最后一年時(shi)間,也(ye)(ye)是(shi)我(wo)的(de)(de)學(xue)術成果(guo)(guo)涌(yong)現的(de)(de)一年,但我(wo)其實是(shi)堅(jian)持積累了很(hen)長的(de)(de)時(shi)間,才看到(dao)最后科研成果(guo)(guo)井噴的(de)(de)那一天(tian),最后四年拿到(dao)博士學(xue)位。

  到(dao)這里,同學們可能想問,董老(lao)師到(dao)底(di)想說(shuo)什么?這里給大家總結一(yi)下(xia)。

  一(yi)是希望同學們(men)盡早思考自(zi)己喜歡什么,一(yi)定要follow your heart。不要讓別人告訴你(ni),你(ni)應(ying)該干(gan)什么,而改(gai)變自(zi)己的想法。

  二是(shi)(shi)(shi)要(yao)勇于(yu)(yu)面對(dui)(dui)挑戰(zhan),不(bu)(bu)(bu)要(yao)怕(pa)失(shi)敗(bai)。有(you)(you)一(yi)次(ci)我參(can)加(jia)一(yi)個(ge)(ge)(ge)活動(dong)(dong),大家討論(lun)中國科(ke)研界為什么少有(you)(you)頂級、領(ling)先的(de)(de)(de)(de)大師學(xue)(xue)(xue)者,我在(zai)(zai)發言時表達的(de)(de)(de)(de)觀點(dian)是(shi)(shi)(shi): 我們對(dui)(dui)成功(gong)的(de)(de)(de)(de)定義過(guo)于(yu)(yu)單(dan)一(yi)、對(dui)(dui)失(shi)敗(bai)的(de)(de)(de)(de)容忍(ren)太低。如果所(suo)有(you)(you)人都朝著同一(yi)個(ge)(ge)(ge)所(suo)謂成功(gong)的(de)(de)(de)(de)目標去(qu)沖,很難(nan)產生(sheng)多元的(de)(de)(de)(de)、多樣化(hua)的(de)(de)(de)(de)社會(hui)。如何(he)做到勇于(yu)(yu)面對(dui)(dui)挑戰(zhan),不(bu)(bu)(bu)怕(pa)失(shi)敗(bai)?同學(xue)(xue)(xue)們可(ke)以從一(yi)間小事做起: 就是(shi)(shi)(shi)你(ni)(ni)在(zai)(zai)上課(ke)的(de)(de)(de)(de)時候,不(bu)(bu)(bu)管(guan)是(shi)(shi)(shi)大學(xue)(xue)(xue)還是(shi)(shi)(shi)在(zai)(zai)哪的(de)(de)(de)(de)課(ke)堂,敢不(bu)(bu)(bu)敢問(wen)(wen)(wen)(wen)(wen)老(lao)師問(wen)(wen)(wen)(wen)(wen)題。我在(zai)(zai)美國任教的(de)(de)(de)(de)時候,我發現美國學(xue)(xue)(xue)生(sheng)一(yi)個(ge)(ge)(ge)非常典型的(de)(de)(de)(de)特點(dian)就是(shi)(shi)(shi),非常敢問(wen)(wen)(wen)(wen)(wen)問(wen)(wen)(wen)(wen)(wen)題,他們從來不(bu)(bu)(bu)怕(pa)被別人嘲笑他們“這(zhe)是(shi)(shi)(shi)簡(jian)單(dan)或是(shi)(shi)(shi)蠢(chun)的(de)(de)(de)(de)問(wen)(wen)(wen)(wen)(wen)題”。因為,一(yi)是(shi)(shi)(shi),你(ni)(ni)問(wen)(wen)(wen)(wen)(wen)的(de)(de)(de)(de)這(zhe)個(ge)(ge)(ge)問(wen)(wen)(wen)(wen)(wen)題有(you)(you)可(ke)能別的(de)(de)(de)(de)同學(xue)(xue)(xue)也(ye)有(you)(you)類似疑問(wen)(wen)(wen)(wen)(wen),但(dan)他們不(bu)(bu)(bu)敢問(wen)(wen)(wen)(wen)(wen)。第二是(shi)(shi)(shi),通過(guo)問(wen)(wen)(wen)(wen)(wen)問(wen)(wen)(wen)(wen)(wen)題和老(lao)師進行(xing)互動(dong)(dong),你(ni)(ni)不(bu)(bu)(bu)僅能學(xue)(xue)(xue)地更快,也(ye)能夠慢慢地學(xue)(xue)(xue)會(hui),怎么能夠問(wen)(wen)(wen)(wen)(wen)出(chu)越(yue)來越(yue)聰明的(de)(de)(de)(de)問(wen)(wen)(wen)(wen)(wen)題。所(suo)以說不(bu)(bu)(bu)怕(pa)失(shi)敗(bai),可(ke)以從勇于(yu)(yu)問(wen)(wen)(wen)(wen)(wen)問(wen)(wen)(wen)(wen)(wen)題做起。

  三是(shi)要(yao)堅持(chi),要(yao)更多(duo)的迎難(nan)而上(shang),而不(bu)是(shi)總“打一槍(qiang)換一個(ge)地(di)方”,這樣的話(hua)實際上(shang)是(shi)很難(nan)做出(chu)來一些(xie)很重要(yao)、很基礎的工作。

  最后,也可能是(shi)(shi)最重(zhong)要的(de)(de)(de)(de)(de)一點是(shi)(shi),要學(xue)(xue)會(hui)享受(shou)學(xue)(xue)習(xi)和(he)(he)工作(zuo)過程中(zhong)的(de)(de)(de)(de)(de)點點滴滴,enjoying little things,為(wei)什么?是(shi)(shi)因為(wei)如果大家(jia)都向著成(cheng)(cheng)(cheng)功(gong)的(de)(de)(de)(de)(de)目(mu)標去沖,所謂的(de)(de)(de)(de)(de)成(cheng)(cheng)(cheng)功(gong)僅是(shi)(shi)這個(ge)頭部的(de)(de)(de)(de)(de)百分之(zhi)一,甚至(zhi)千分之(zhi)一。那么也就(jiu)是(shi)(shi)說,99%或999‰點的(de)(de)(de)(de)(de)人(ren)做不到(dao)所謂的(de)(de)(de)(de)(de)成(cheng)(cheng)(cheng)功(gong)。那么我(wo)們的(de)(de)(de)(de)(de)人(ren)生目(mu)標,不應該(gai)是(shi)(shi)向著這1%或是(shi)(shi)0.1%的(de)(de)(de)(de)(de)成(cheng)(cheng)(cheng)功(gong)去看,而是(shi)(shi)要學(xue)(xue)會(hui)享受(shou)自身(shen)的(de)(de)(de)(de)(de)提高。現在流行的(de)(de)(de)(de)(de)一個(ge)詞(ci)匯叫“內卷”,我(wo)覺得(de)很多(duo)內卷就(jiu)是(shi)(shi)因為(wei)不停(ting)地去跟別人(ren)比,忘(wang)記(ji)了享受(shou)在學(xue)(xue)習(xi)和(he)(he)成(cheng)(cheng)(cheng)長過程中(zhong)的(de)(de)(de)(de)(de)快樂(le)。所以最后,希(xi)望(wang)大家(jia)在學(xue)(xue)習(xi)和(he)(he)工作(zuo)過程中(zhong),能夠享受(shou)其(qi)中(zhong)的(de)(de)(de)(de)(de)樂(le)趣,這樣你(ni)的(de)(de)(de)(de)(de)心態也會(hui)更(geng)好(hao),工作(zuo)和(he)(he)學(xue)(xue)習(xi)也能夠推(tui)進(jin)得(de)更(geng)加順利(li)。

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